上極限、下極限 - otokkiのポーフォリ

アウトプットが滞っているのでたびたび忘れる上極限と下極限について.

$\alpha=\lim\sup a_n$ としたとき

$\forall x\lt \alpha, \# \{ n \mid x \leq a_n \}=\infty.$ すなわち上極限より小さな元に対して, その元より大きい $a_n$ が無限個存在する.
$\forall x \gt \alpha, \exists N \in\mathbb{N} \ {\rm s.t.} \forall n \geq N, x \gt \alpha.$ すなわち, 上極限より大きな元に対しては, ある番号より先はその元より小さくなっている.
が成り立つこと. 上澄みをとりながら収束していくイメージが分かりそうでわからない.

ちなみに上限 $\sup a_n=:s$ の定義は上界の最小値, すなわち上界であって（ $\forall n, a_n \lt s$ ）かつ $s$ よりも少しでも小さいと上界にならない（ $\forall x \lt s, \exists n_0 \ {\rm s.t}\ x \lt a_{n_0} \lt s$ ）が成り立つこと.

$\lim\sup a_n$ は $\lim_{n\to\infty} \sup_{k\geq n} a_k$ ともかける.

下極限は省略