シロー部分群の存在 - otokkiのポーフォリ

シロー部分群の存在とそれに伴う群論のことを書く。

群の位数が素数 $p$ , $(p,m)=1$ なる $m$ を用いて $|G|=p^s m$ と表されているとする. 群 $G$ の $p-$ シロー部分群とは, 位数 $p^s$ の部分群のこと.
その存在の証明（の概略）とそれに必要な用語を述べる.

群 $G$ と集合 $X$ に対して, 写像 $G\times X \to X : (g,x)\mapsto gx$ であって
$\forall g,h\in G,\forall x\in X, (gh)x=g(hx)$ と $\forall x\in X, G$ の単位元 $e$ について $ex=x$
を満たすもの. ここで $g\in G$ を一つ固定すると, 写像
$T_a : X \to X : x \mapsto gx$ が得られ, これは全単射. 言い換えると $T_a$ は $X$ の置換となる.
ある $g\in G$ が存在して, $gx=y$ となるような関係(群の作用で移り合う関係) は $X$ 上の同値関係. その同値類を軌道という. 軌道は $\{gx\in X|g\in G\}$ とかける.

$G$ が $X$ に作用しているとする. $x\in X$ に対し
$G_x = \{g\in G | gx=x\}$ とおくと, $G$ の部分群となり, $G$ の $x$ における固定部分群という. (作用させても $x\in X$ が動かないような $g\in G$ の集合)

定理 $G$ が $X$ に作用しているとする. $x\in X$ を含む軌道は $Gx$ で与えられ, $|G|=|G_x||Gx|$ が成立.

(群の位数)=(固定部分群の位数)×(軌道の長さ) を意味する. ラグランジュの定理のようなもの.

ここから証明に入る.

要素の個数が $p^s$ である集合の集合を $A$ とする. すなわち $A = \{X\subset G | \# X=p^s \}$
このとき, $\#A={}_{p^s m} C_{p^s}$ であり $\#A \equiv m \not\equiv 0 \pmod{p}$ が成り立つ.
( $(t+1)^{p^s m}$ の係数を考えることで分かる, $\pmod{p}$ での展開を考える. )
(あるいは ${}_{p^s m} C_{p^s}$ の右から $l$ 番目の分子分母は $\frac{p^m s - p^s +l}{l}$ で表されることから分かる. $p$ を因数に持つ項のみ調べれば良いことに注意, わからなければ具体例. )