シロー部分群の存在（続き） - otokkiのポーフォリ

$G$ の $A$ への作用を
$g\cdot X =\{gx|x\in X \}\subset G$ で定める. ( $\# X = \#g\cdot X$ であるから $g\cdot X$ も $A$ の要素である.)
$\# A$ が $p$ で割り切れないこと(前投稿で書いた) から, $\#G\cdot X$ が $p$ で割り切れない $X$ が存在する.
( $|G\cdot X|$ がすべて $p$ で割り切れるとすると, $|A|$ も $p$ で割り切れることになってしまう.) (各 $X$ について, 軌道の集合 $G\cdot X$ の個数が $p$ で割れる ↔︎ その軌道の集まりである $A$ の要素の個数も $p$ で割れる. )
この $X$ について, $P=G_X$ とおく( $X$ の固定部分群). すると前定理から
$|G| = |P| \times |Gx|$
が成り立ち, $|Gx|$ は $p$ で割れないので $|P|$ は $p^s$ で割り切れる.
すなわち $|P| \geq p^s$ が言えた.

逆向きの不等号を示す. $g\in P\subset G, x\in X\subset G$ に対して, $g\cdot x =gx$ と積を定めると, $P$ は $X$ に作用している. ( $P$ は $X$ を集合としては動かさないので, この演算は閉じている.)
$x\in X$ を固定して, $a_x : P \to X, a_x (g)=gx$ と定める. これは単射. すなわち $|P| \leq |X|=p^s$ .