米田の補題（続き） - otokkiのポーフォリ

ステートメントを述べる. ここで $\hat{C}=Set^{C^{op}}$ . また $y\colon C^{op}\to \hat{C}$ は米田埋込である.

$C$ を圏, $a\in C$ を対象, $P\colon C^{op} \to Set$ を関手とする. このとき $\hom_{\hat{C}} (y(a),P)\to P(a)$ なる全単射が存在する.

全単射写像を構成する.
まず, $\hom_{\hat{C}} (y(a),P)\to P(a)$ 定める. これは $y(a)\Rightarrow P$ 自然変換を集合 $P(a)$ の元に送る写像である.
$\alpha \in \hom_{\hat{C}}(y(a),P)$ とすれば(すなわち $\alpha$ は自然変換) その $a$ 成分 $\alpha_a$ は $\hom_C (a,a) \to P(a)$ なる写像. (図をかいてみる )
そこで写像 $\phi =\phi_a,P \colon \hom_{\hat{C}} (y(a),P)\to P(a)$ を $\phi(\alpha)=\alpha_a(id_a)$ で定める.

全単射写像であることを示すため逆写像 $\psi \colon P(a)\to \hom_{\hat{C}} (y(a),P)$ を定義する. これは集合 $P(a)$ の元を $y(a)\Rightarrow P$ なる自然変換に送る写像. そこで $x\in P(a)$ に対して $\psi (x)_s \colon \hom_C (s,a)\to P(s)$ を $\psi(x)_s (f)\colon =Pf(x)$ で定める. ( $\phi(x)$ は自然変換 $\phi(x)_s$ はその $s$ 成分, 図をかいてみる.)

この $\phi, \psi$ について, $\phi\circ\psi =id, \psi\circ\phi=id$ となる.
またここで得られた写像 $\phi$ は $a$ と $P$ に関して自然である.