米田の補題 - otokkiのポーフォリ

米田の補題で再び詰まって, 乗り越えられそうなので書いておく. そのためにまず Hom 関手について述べる.

$C$ を圏, $a,b\in C$ を対象とすると, $\hom_C (a,b) \in Set$ なので, 対象 $a\in C$ を1つ固定して
$F : Ob(C) \to Ob(Set), b\mapsto \hom_C (a,b)$ を考えることができる.また $C$ の射 $g : b \to b'$ に対して $F(g) : \hom_C (a,b) \to \hom_C (a,b'), g \mapsto g\circ f$ で定めることでこの $F$ は関手 $C\to Set$ とみなせる. この関手を Hom 関手といい $\hom_C (a,-)$ で表す.
同様に関手 $\hom_C (-,b) : C^{op} \to Set$ を考えることもできる. この関手も Hom 関手という. （Hom 関手は $C$ の対象を関数の集合に, $C$ の射を関数にうつす. 困ったら図を書いてみる.)

この2つを組み合わせると $\hom_C (-,-) : C^{op} \times C \to Set$ を考えることができ, これから関手 $C \to Set^{C^{op}} , a \mapsto \hom _C (-,a)$ が得られる. （ $C$ の対象を $C^{op} \to Set$ なる関手に対応させ, 射を自然変換に対応させる. わからないなら図をかく.） $\hat{C} = Set^{C^{op}}$ とかくと, この関手 $y \colon C\to \hat{C}$ を米田埋め込みという. 米田埋め込みは次の性質を持つ.

定理（米田の補題）
$C$ を圏, $a\in C$ を対象, $P : C^{op}\to Set$ を関手とする. このとき $\hom_{\hat{C}} (\hom_C (-,a),P) \to P(a)$ なる全単射が存在する. （すなわち集合として（Set の対象として）同型となる.)

$b\in C$ とし, $P$ を $\hom_C (-,b) \colon C \to Set$ として考えてみる.各 $a\in C$ に対する米田埋め込みを $y(a)\colon =\hom _C (-,a) \colon C \to Set$ とかくことにする. このとき $P(a) = \hom_C (a,b)$ となる.
$x\in C$ に対して, $y(a)(x) = \hom_C (x,a), P(x)=\hom _C (x,b)$ それぞれ射の集合が対応.
米田の補題は $\hom_{\hat{C}}(\hom _C (-,a),P) \cong P(a)$ すなわち $y(a)$ と $P$ の間の自然変換と $a$ から $b$ への射の集合の間に1:1 がある（しかも自然に）ということを主張している.（例によって図を書いてみる）このとき, $\hat{C}$ における射（すなわち自然変換）が写像の合成としてかけることになる.

この例を一般化したような結果と見ることができると理解できる.