自然変換とか圏同値とか

圏論

圏論を少し勉強することにした.
自然変換あたりでつまづいたが、少し飲み込めたのでまとめておく.　圏同値（と圏同型）は圏の間の可逆な関手からなる.

関手 F : C \to D, G : D \to C と自然同型 GF \cong id_C, FG \cong id_D が存在するとき圏 C, D は圏同値であるという.また関手 F : C \to D が圏同値を与えることと, F が忠実充満な本質的全射であることは同値.

以下, 用語の定義等述べていく. 

定義（自然変換）
C,D を圏, F,G :C \to D を関手, a,b \in C を対象, f : a \to b を C の射とする.
D の射の族 \theta = \{\theta_a : Fa \to Ga \mid a\in C\} であって, \theta_a \circ Gf = Ff \circ \theta_b を満たすものを F から G への自然変換といい, \theta : F\Rightarrow G とかく.
また, 各 \theta_a が D の同型射となっているものを自然同型という. 自然同型 \theta : F\Rightarrow G が存在するとき, F と G は自然同型であるといい F\cong G とかく. (「自然同型が存在するとき2つの圏が自然同型」という言い方が紛らわしくて混乱していることに気づくのに時間がかかった.)

（C,D が圏同値で a,a'\in C を対象, F : C\to D, G : D\to C を GF\cong id_C, FG\cong id_D なる関手とし, G(F(a))=a' とすると a と a' は同型となる. ）

これと似ているのが次の概念. 逆関手との合成が恒等写像であることを要求する. そのため

定義（圏同型）
同型関手 C\to D が存在するとき, C と D は圏同型であるという.
F \Rightarrow G が同型関手であるとは, ある関手 G : D\to C が存在して GF=id_C, FG=id_D となるときをいう.

（C と D が圏同型で前カッコ内と同じ状況だとすると a=a' が成り立つ. )

圏同型は強すぎて使い勝手が悪すぎるので, 少し緩めた圏同値をよく使うらしい.

同値命題の言葉の説明もしておく.

定義（関手の性質）
F : C\to D を関手, c,c'\in C を対象とする.
F が誘導する写像 \rm{Hom}_C(c,c') \to \rm{Hom}_D(Fc,Fc') が全射であるとき, Fが充満関手であるという.
F が誘導する写像 \rm{Hom}_C(c,c') \to \rm{Hom}_D(Fc,Fc') が単射であるとき, Fが忠実関手であるという.
任意の d\in D があるC の対象 c の像 Fc と同型.（すなわち任意の d\in D に対し, ある c\in C が存在して Fc \cong d が成り立つ.）
F が誘導する写像は集合と写像のなす圏 \bf{Set} の射と見ることもできる.